Программы с безнегоциабельными (NN) фишками используются казино для предоставления кэшбека высоким роллерам за их игру. Кэшбек представляет собой фиксированный процент возврата всех NN фишек, которые игрок приобрел и проиграл. В этом посте я рассмотрел основы математики программ NN, включая вычисление эффективного преимущества казино для каждой использованной NN фишки. Я также показал, как рассчитать T-Win для игрока на основе точного числа использованных им NN фишек. В этом посте я представил метод анализа риска, называемый z-показатель. Этот анализ ориентирован на прошлое; насколько вероятен был результат? В данном посте рассматривается метод анализа риска, ориентированный на будущее, который называется доверительными интервалами.
Чтобы следовать за материалом и использовать его самостоятельно, пожалуйста, загрузите и откройте эту электронную таблицу:
Rolling_Chip_Rebate_Confidence_Intervals
В этой таблице я делаю следующие предположения:
- Игрок делает только ставки на игрока и банкира, не делая ставки на ничью.
- Игрок делает одинаковое количество ставок на игрока и банкира.
Более точные версии этой таблицы могут быть созданы для любого стиля ставок, но это выходит за рамки данного поста. Для вычисления доверительных интервалов с использованием этой таблицы, пользователь вводит процент кэшбека NN, количество использованных NN фишек и номинал фишек.
Приведен пример ввода для игрока верхнего уровня, который получает кэшбек NN в размере 1,0%. В этом примере игрок использует 500 NN фишек с номиналом $10 000.
Используя факт, что NN фишка играется в среднем около 2,211 раз, прежде чем она потеряется (как я показал в этом посте), потребуется в среднем около 1 105 рук, чтобы «отмыть» (проиграть) эти фишки. При 40 руках в час в сжатой игре это займет около 27,6 часов, в среднем, чтобы «отмыть» эти фишки. Если игрок увлеченно играет в баккару, то легко может набрать столько часов за длинные выходные.
Вопрос, на который отвечают доверительные интервалы, звучит так: какой разумный диапазон конечных результатов для этого игрока по итогам его поездки?
Для точного определения этого, слово «разумный» заменяется на различные проценты. Так, например, с «доверительными интервалами 90%», слово «разумный» заменяется на «90% времени». Затем мы задаем вопрос, в каком диапазоне конечных результатов мы ожидаем, что этот игрок окажется в 9 из 10 поездок? Следовательно, в 1 из 10 поездок наш игрок окажется за пределами этого диапазона, что означает, что в 1 из 20 поездок его результаты будут ниже интервала, и в 1 из 20 поездок его результаты будут выше интервала.
Для игрока в приведенном выше примере (кэшбек = 1%, использовано 500 NN фишек, номинал фишек $10 000, кэшбек на NN фишки 1%), 90% доверительный интервал примерно таков:
- Нижний предел 90% доверия = выигрыш казино $590 000
- Верхний предел 90% доверия = выигрыш игрока $440 000
Другими словами, в 9 из 10 поездок результаты игрока должны находиться где-то между проигрышем в $590 000 и выигрышем в $440 000. Следовательно, в 1 из 20 поездок (в среднем) этот игрок потеряет более $590 000. Точно так же, в 1 из 20 поездок (в среднем) этот игрок выиграет более $440 000.
Другая перспектива на эти цифры заключается в том, что если 2000 игроков посещают казино и каждый использует 500 NN фишек номиналом $10 000, и каждый из них получает тот же кэшбек в размере 1% на использованные ими NN фишки, то мы ожидаем (в среднем) около 100 из таких игроков потеряют $590 000 (или более) и 100 из этих игроков выиграют $440 000 (или более). Мы ожидаем, что остальные 1800 из этих 2000 игроков (в среднем) получат результаты между этими двумя значениями.
В таблице ниже показаны точные нижние и верхние пределы для доверительных интервалов 90%, 95%, 99% и 99,9%:
Ссылаясь на последний ряд этой таблицы, для игрока, описанного выше, играющего 500 NN фишек, его результат должен лежать между проигрышем примерно $1,104 млн и выигрышем примерно $951 тыс. в 99,9% случаев.
Другая перспектива на диапазон доверительных интервалов 99,9% — рассмотреть 2000 игроков с описанными выше характеристиками. В среднем 1998 из этих 2000 игроков будут находиться в пределах 99,9% нижнего и верхнего пределов, то есть между проигрышем $1,104 млн и выигрышем $951 тыс. Один игрок из 2000 (в среднем) должен проиграть более $1,104 млн только случайно. Точно так же, один игрок из 2000 (в среднем) должен выиграть более $951 тыс., также случайно.
Для объяснения того, как вычисляются доверительные интервалы, давайте ближе рассмотрим случай с интервалом 90%. Верхние и нижние пределы получаются при рассмотрении колоколообразной кривой. Мы ищем область колоколообразной кривой, центрированной в середине, которая соответствует 90% ее общей площади. Ниже показана иллюстрация этой области:
В отношении игры в казино средняя точка (представленная греческой буквой μ) представляет собой теоретический проигрыш игрока в казино. Это отрицательное число, потому что игрок проиграл. Стандартное отклонение (представленное греческой буквой σ) — это просто стандартное отклонение, связанное с игрой, используя сколько угодно NN фишек, которые игрок использовал.
Из этой картинки видно, что 90% кривой находится в пределах 1,64 стандартных отклонений от среднего значения (точнее говоря, 1,644853627 стандартных отклонений). Нижний и верхний пределы для доверительных интервалов 90% получаются с помощью следующих формул:
- Нижний предел 90% доверия = μ — 1,64σ
- Верхний предел 90% доверия = μ + 1,64σ
Для того чтобы рассчитать доверительные интервалы, нам необходимо определить ожидаемый проигрыш μ и стандартное отклонение σ для игрока, который играет и использует 500 NN фишек номиналом $10 000 по программе кэшбека 1,0%. Для этого мы используем комбинаторный анализ для игры в баккару с использованием NN фишек (еще раз, см. этот пост). Вот он:
Из этой информации видно, что преимущество казино на одну NN фишку с игроком, который делает ставки равномерно как на игрока, так и на банкира, с кэшбеком в 1,0%, составляет приблизительно
(1,371% + 1,693%)/2 = 1,532%.
Поскольку игрок выше использует NN фишки номиналом $10 000, игрок проигрывает в среднем $153,20 на одной NN фишке. Играя 500 фишек, это приводит к теоретическому проигрышу игрока за поездку примерно в размере
μ = 500 x -$153,20 = -$76 600.
Стандартное отклонение на одну NN фишку для игрока, который делает равномерные ставки как на игрока, так и на банкира, составляет примерно
sqrt((1,388^2 + 1,405^2)/2) = 1,396.
Играя 500 фишек, каждая из которых имеет номинал $10 000, стандартное отклонение для поездки составляет примерно
σ = sqrt(500) x $10 000 x 1,396 = $312 150.
Таким образом, верхний и нижний пределы для доверительного интервала 90% примерно следующие (с некоторыми округлениями):
- Нижний предел = (-$76 600) – (1,64) x ($312 150) = -$590 000
- Верхний предел = (-$76 600) + (1,64) x ($312 150) = +$435 000
Выполняю вычисления проигрыша игрока и стандартного отклонения с гораздо большей точностью в предоставленной с этим постом таблице. Более точные значения представлены в изображении «Доверительные интервалы игрока» выше.
Следующая презентация иллюстрирует количество стандартных отклонений, используемых для доверительных интервалов 90%, 95%, 99% и 99,9%.
Что думает игрок, который из 2000-х проиграл более $951 тыс.? Вероятно, он считает себя опытным игроком в баккару, даже если не может сказать, в чем заключается его секрет. Возможно, его друзья так же относятся к нему и хотят ставить с ним, когда играют вместе. Этот игрок может даже публиковать свои успехи на форумах в интернете, хвастаясь тем, насколько он «хорош». Он может написать небольшую книгу или статью в журнале, объясняющую его несуществующую систему. Как сказал Пенн Джиллетт, «удача — это вероятность, персонализированная». Это особенно явно проявляется среди высоких роллеров, выигрывающих в баккару.
С другой стороны, что думает казино о том игроке из 2000-х, который выиграл более $951 тыс.? Этот игрок должен существовать. Нельзя ничего сделать, чтобы предотвратить такие выигрыши с частотой приблизительно 1 из 2000 случаев. Казино не имеют возможности переиграть физические законы вселенной, несмотря на все свои желания. Казино, которые плохо разбираются в анализе рисков, часто слишком реагируют на выигрывающих игроков.
Знание — это хорошо, независимо от того, на чьей стороне стола вы выбираете играть.
